منبع پایان نامه درمورد مشاهده پذیر

انی وجود داشته باشند که عدم اطلاع و کنترل ما بر آنها در نتیجه پراکنده بودن آنها در آزمایش های گوناگون این تصور کاذب را در ما به وجود می آورد که ما واقعا آزمایش های یکسان را بر ذرات یکسان انجام می دهیم و نتایج متفاوت را ناگزیر به شانس و احتمال نسبت می دهیم. اگر بر این متغیرها آگاهی داشته باشیم ممکن است بتوانیم یک توصیف دقیقی از پدیده ها ارائه کنیم. این ایده، یک ایده بسیار جذاب برای رها شدن از شانس و تصادف و بازگشت به چارچوب فیزیک کلاسیک است که در آن می توان با داشتن شرایط اولیه بطور دقیق آینده جهان را به طور کامل پیشگویی کرد. آیا واقعا این کار امکان پذیر است؟ آیا متغیرهای پنهان وجود دارند.
دیدیم که انیشتین، پودولسکی و روزن ملاک های دقیقی برای محک زدن واقعیت ارایه دادند. کار مهم جان بل در 1963 آن بود که راه دقیقی برای پاسخ گویی به مسئله پارامترهای پنهان پیدا کرد، راهی که به کمک آن می توان به طور تجربی تعیین کرد که آیا این پارامترها وجود دارند یا نه؟ یا به عبارت بهتر، آیا نتایج تجربی آزمایشگاهی را که ما می بینیم و آنها را به شاخص و تصادف تعبیر می کنیم، می توانیم با پارامترهای پنهان توضیح دهیم یا خیر؟
1-8 نامساوی بل10
فرض کنید که زوج ذره های یکسانی داریم که بین آلیس و باب به اشتراک نهاده شده اند. آلیس فقط روی ذره اول و باب روی ذره دوم اندازه گیری می کند. این دو شخص آزمایش های خود را چنان انجام می دهند که هیچ گونه ارتباط علی بین آنها وجود نداشته باشد. برای این کار آزمایش خود را در فاصله فضا گونه انجام می دهند. فرض می کنیم که الیس به صورت تصادفی دو خصلت A و B (برای بعضی ذرات خصلت A و برای بعضی ذرات دیگر خصلت B) و باب نیز به طور تصادفی دو خصلت C و D را اندازه گیری می کنند. می توان تصور کرد که هر بار که آلیس می خواهد روی ذره خود اندازه گیری کند سکه ای را پرتاب می کند و بنابراین روی سکه خصلت A یا B را اندازه گیری کند. باب نیز به طور مشابه همین کار را می کند. مشاهده پذیرهای A, B, C, D را چنان انتخاب می کنیم که مقادیر آنها را که با a, b, c, dنشان می دهیم، فقط دو مقدار 1 و -1 را اختیار کنند، در این حالت پارامترهای پنهان را مجموعا با λنشان می دهیم. هر جفت ذره ای که تهیه شده است مقدار مشخص از λ دارد و خصلت های A, B, C, D از این جفت ذره تابع این پارامترها هستند. خصلت های A, B از ذره ای که دست آلیس است قبل از اندازه گیری مقادیر a(λ), b(λ)را دارد که توسط اندازه گیری وی آشکار می شوند. به همین نحو خصلت های C, D از ذره ای که دست باب است قبل از اندازه گیری وی آشکار می شوند. این که آلیس تصمیم بگیرد کدام خصلت را اندازه بگیرد و مقدار a(λ) بدست آورد تغییری در مشاهده پذیر B یعنی b(λ) به وجود نمی آورد. عین این حرف برای باب نیز درست است. به راحتی می توان نشان داد که
(a_λ+b_λ ) c_λ+(a_λ-b_λ ) d_λ=±2
حال می توانیم بعد از پایان اندازه گیری ها مقدار متوسط مقادیر ا ندازه گیری شده را حساب کنیم. فرض کنید که مقدارp(λ) از ذرات، پارامتر پنهان λ داشته اند. در این صورت خواهیم داشت
(A+B)C+(A-B)D =∑_λ▒〖p(λ)((a_λ+b_λ ) c_λ+(a_λ-b_λ ) d_λ ) 〗
حال می توان نشان داد که
|(A+B)C+(A-B)D|≤∑_λ▒p(λ)|(a_λ+b_λ ) c_λ+(a_λ-b_λ ) d_λ | =∑_λ▒〖p(λ)2=2〗
به این ترتیب به نامساوی بل می رسیم. یعنی برای چنین کمیت هایی حتمی، نامساوی زیر
می بایست برقرار باشد.11
|(A+B)C+(A-B)D|≤2(1-18)
نامساوی بل در تشخیص جداپذیری نیز کاربرد دارد که در فصل 2 به آن اشاره خواهد شد.

1-9 متغیرهای گسسته و پیوسته
سیستم هایی که در بخشهای گذشته راجع به آنها بحث شد می توانند شامل متغیرهای گسسته یا پیوسته باشند. به عنوان مثال اسپین یک الکترون را می توان متغیری گسسته در نظر گرفت چرا که دو مقدار tr(pq)-tr(qp)=i tr(I)
که در آن I ماتریس واحد است. در صورت محدود بودن ابعاد، رابطه بالا منجر به تناقض می شود چرا که طرف چپ صفر و طرف راست، یک عدد غیر صفر می شود.
در ضمن تلاشهایی که برای بررسی مسئله جداپذیری سیستم ها با متغیرهای گسسته شده است، جداپذیری سیستم های پیوسته نیز مورد توجه قرار گرفته است. چرا که سیستم های پیوسته نظیر حالت های همدوس، تجربی تر به نظر می رسند. بنابراین دانستن این که یک سیستم دو تایی از متغیرهای پیوسته جداپذیر هستند یا درهم تنیده اهمیت دارد. با افزایش بعد فضای هیلبرت تشخیص جداپذیری سخت تر و سخت تر می شود. در فصل دوم چند نوع از ملاک های تشخیص درهم تنیدگی و چند نوع از معیارهای اندازه گیری درهم تنیدگی را معرفی می کنیم. در فصل سوم انواع میدان های برهم کنشی با اتم را معرفی می کنیم و در ادامه، به بررسی پدیده برهم کنش اتم با میدان در دو مدل کلاسیک و کوانتومی می پردازیم. مدل جینز-کامینگز بدون استفاده از تقریب موج چرخان در فصل چهارم حل می شود؛ در ادامه فصل درهم تنیدگی سیستم
اتم- فوتون تحت هامیلتونی جینز- کامینگز در دو مدل با استفاده و بدون استفاده از تقریب موج چرخان اندازه گیری می شود. و در نهایت پدیده مرگ ناگهانی درهم تنیدگی، در مورد سیستم زوج کوبیت مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

فصل دوم
جداپذیری

2-1 مقدمه

گفتیم که سیستم های درهم تنیده در مخابرات کوانتومی اهمیت زیادی دارند، لذا تشخیص اینکه سیستمی با ماتریس چگالی ρ جداپذیراست یا خیر برای ما مهم است.فضای هیلبرت Hرا در نظر میگیریم که متشکل از دو زیر فضای H_1 و H_2 می باشد واضح است که اگر 〖|ψ_1> ∈H〗_1و〖|ψ_2 ∈H〗_2 باشد 〖|ψ_1⨂|ψ_2 ∈H〗_1⨂H_2 می باشد. ولی هر بردار در فضای Hرا نمی توان به صورت ضرب دو بردار در زیر فضاهای H_1وH_2 نوشت. حال، اگر یک بردار حالت در فضای هیلبرت Hبه صورت ضرب تانسوری دو بردار در زیر فضاهای H_1 و H_2 نوشته شود در این صورت گوییم |ψ یک بردار جداپذیر است. یعنی
|ψ =|ψ_1⨂|ψ_2(2-1)
به وضوح هر برداری را که نتوان به صورت ضرب دو بردار در زیر فضاهای H_1 و H_2 نوشت یک بردار درهم تنیده نامیده می شود. در مورد ماتریسهای چگالی نیز می توان جداپذیری و درهم تنیدگی را تعریف کرد. به طور مشابه اگر ماتریس چگالی مورد نظر ما به دو ماتریس چگالی زیر فضاها تجزیه شد این ماتریس جداپذیر است. یعنی
〖ρ_2 ∈H〗_2, 〖ρ_1 ∈H〗_1 →ρ =ρ_1⨂ρ_2 (2-2)
در حالت عمومی تر یک ماتریس چگالی را جداپذیر گوییم، اگر بتوان آن را به صورت زیر نوشت
ρ=∑_i▒〖P_i ρ_i^1⨂ρ_i^2 〗 , ∑_i▒P_i =1
(2-3)
و اگر ماتریس چگالی را نتوان بصورت فوق نوشت یک حالت درهم تنیده داریم. بنابراین، حالتهایی مانند
|ψ =1/√2(|o,1-|1,o)(2-4)
درهم تنیده اند. یکی از مسائل مهم در اطلاع رسانی کوانتومی تشخیص درهم تنیدگی است. ملاک های بسیاری برای تشخیص درهم تنیدگی ارائه شده است، یکی از این ملاک ها تحت عنوان تجزیه اشمیت برای تشخیص درهم تنیدگی تابع موج معرفی شده است که در بخش بعد به آن می پردازیم و مابقی برای ماتریس های چگالی بیان شده اند که از بخش (2-3) تا (2-6) آنها را معرفی می کنیم. بعد از اینکه تشخیص داده شد که سیستم درهم تنیده است یا خیر، باید میزان درهم تنیدگی سیستم را اندازه گرفت، که برای اندازه گیری در هم تنیدگی معیارهای زیادی تاکنون معرفی شده اند که ما در این فصل سه نوع از آنها، که در فصل 4 مورد استفاده قرار خواهند گرفترا معرفی می کنیم.

2-2 تجزیه اشمیت12
هر بردار 〖|ψ〗_AB متعلق به H_A⨂H_B می تواند با انتخاب پایه های مناسب به شکل زیر نوشته شود
〖|ψ〗_AB=∑_(i=1)^M▒〖a_i |i_A|i_B〗
(2-5)
که در آن i_A∈H_A و i_B∈H_B بخشی از پایه های راست هنجار13 هستند. همچنین a_io و ∑_(i=1)^M▒〖a_i^2=1〗 و M≤ dim⁡〖H_A 〗, dim⁡〖H_B 〗، به a_i ضرایب اشمیت می گویند.

2-3 آنتروپی فون- نویمان14
در سال 1996 ، بنت15 و همکارانشپیشنهاد دادند که آنتروپی فون نیومن هریک از سیستم های یک سیستم مرکب ، معیار خوبی برای تعیین میزان درهم تنیدگی آن حالت مرکب است16.اگر بهS=-tr(ρ log_2 ρ) دقت کنیم، می بینیم که در مورد چگالی خالص یکی از عناصر ماتریس 1 و باقی صفر هستند. لذا S=o بدست می آید. در مورد یک سیستم مرکب AB اگر این سیستم خالص باشد، S(AB)=o بدست می آید، اما اگر ما ρ^A و ρ^B را حساب کرده و آنتروپی فون – نویمان هر کدام را صفر بدست آوریم، می توان نتیجه گرفت حالت جداپذیر است. و می توان آن را به صورت ضربی نوشت، چرا که در مورد حالت های ضربی داریم
S(AB)=S(A)+S(B)(2-6)
اثبات- حالت جدا پذیر ρ^A⨂ρ^B را در نظر می گیریم
S(AB)= -tr(ρ^A⨂ρ^B log_2 ρ^A⨂ρ^B )
=-tr([ρ^A⨂ρ^B (log⁡〖ρ^A 〗+log⁡〖ρ^B 〗 )]
=-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^A 〗 )-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^B)〗
=-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^A 〗 )-tr(ρ^A⨂ρ^B log⁡〖ρ^B)〗
=-{tr(ρ^A ) tr(ρ^A log⁡〖ρ^A 〗 )+tr(ρ^A ) tr(ρ^B log⁡〖ρ^B)〗}
=-tr(ρ^A log⁡〖ρ^A 〗 )- tr(ρ^B log⁡〖ρ^B)〗=S(A)+S(B)
به عبارت بهتر، اگر تابع موج خالص باشد، آنتروپی فون – نویمان معیار مناسبی برای تشخیص درهم تنیدگی می باشد.
مثال- حالت پاد متقارن زیر را در نظر می گیریم
|ψ ̅ =1/√2(|o,1-|1,o)(2-7)
که |ψ ̅ یکی از حالتهای بل است.
ρ=|ψ ̅ψ ̅ |
=1/2(|(1|o<1||o|1<1||1ρ=1/2 (■(■(o&[email protected]& 1)&■(o&o @-1&o )@■(o&[email protected]&o)&■(1&[email protected]&o)))
اگر این ماتریس را قطری کنیم می بینیم که یک حالت خالص است ρ=diag(o,o,1,o) بنابراین می توان از آنتروپی فون- نویمان استفاده کرد.
ρ^A=tr_B (ρ)=1/2 (|1><1|+|o>ρ^B=tr_A (ρ)=1/2 (|1><1|+|o>S(A)=S(B)=1 بدست می آید. بنابراین، این حالت درهم تنیده است.

2-4 معیار بل
با نامساوی بل در فصل اول آشنا شدیم. اگر سیستم دوتایی نامساوی بل را نقض کند، می گوییم این سیستم در هم تنیده است. میزان این نقض هر چه بیشتر باشد میزان درهم تنیدگی بیشتر است. نامساوی بل روش دقیقی نیست و بیشتر برای آشنایی به آن اشاره خواهد شد. این نامساوی را به شکل زیر در نظر می گیریم .
B_i=|E(φ_1,φ_1 )+E(φ_1,φ_2 )+E(φ_2,φ_1 )+E(φ_2,φ_2 )|≤2
(2-8)
که در آن
E(φ_i,φ_j )=tr[s(φ_i )s(φ_j)]
s(φ_i )=cos⁡〖(φ_i )(|o><1| )+sin⁡(φ_i ) 〗 (|1><1| )
φ_i زاویه بین صفحه آنالیزور با ذره ی i ام می باشد در محاسبات، این زاویه به گونه ای انتخاب
می شود که میزان نقض بیشینه شود
مثال- ماتریس چگالی ρ را در حالت ورنر که به صورت زیر است، در نظر می گیریم
ρ_w (φ,d)=〖(d^3-d)〗^(-1) [(d-φ)I+(dφ-1)V]
که در آن d≥2 بعد
فضای هیلبرت بوده، -1≤φ≤1 و Vρ⨂ρ ̃=ρ ̃⨂ρ می باشد. برای حالت خاص ρ_w (φ,d)، شرط نامساوی بل برای جداپذیری این حالت، به صورت زیر بدست می آید.17
1/2-3/4 √2≤φ≤1
اگر β=(1-2φ)/3 حالت ورنر- پوپسکو18 حاصل می شود.
ρ=1/4 (1-β) I_A⨂I_B+β|ψ>ψ|
که در آن |ψ از رابطه (2-7) بدست می آید.برای جداپذیری این حالت داریم
1/2-3/4 √2≤φ≤1 ⟹ 1/2-3/4 √2≤(1-3β)/2≤1 ⟹ o≤β≤ 1/√(2 )

2-5 معیار آلفا – آنتروپی19
این معیار از نامساوی بل قوی تر است. ما برای حالات ورنر- پوپسکو نشان می دهیم که آلفا آنتروپی شرط محکمتری را بدست می آورد. آنتروپی زیر را در نظر بگیرید20
S(α)=1/(1-α) Log_2 tr ρ^α α1(2-9)
وقتی α→1، همان آنتروپی فون- نویمان بدست می آید. طبیعی است که در حالت کلاسیک یعنی (عدم درهم تنیدگی) آنتروپی کل از آنتروپی اجزا بزرگتر است، یعنی
S_α (ρ)≥〖Max 〗_(i=1,2) S_α (ρ_i )(2-10)
که در آن ρ_i ماتریس چگالی هر یک از زیر سیستم هاست. بنابراین وقتی این نامساوی نقض شود اتفاق غیر کلاسیکی افتاده است، یعنی درهم تنیدگی داریم. به عنوان مثال، با داشتن بردار های زیر
|o ≡(o¦1) |1 ≡(1¦o)
|o|1≡((o¦o)¦(1¦o)), |o|1≡((o¦1)¦(o¦o)) , |ψ =1/√2 ((( o)¦( 1))¦((-1)¦( o)))
و طبق رابطه (2-10) برای حالت ورنر-پوپسکو داریم
ρ≡(■(■((1-β)/4&[email protected]&(1+β)/4)&■(o&[email protected](-β)/2&o)@■(o &(-β)/[email protected] &o)&■((1+β)/4&[email protected]&(1-β)/4)))(2-11)
که برای α=2، نتیجه زیر را داریم
S_2 (ρ)=-log⁡〖tr ρ^2 〗=-log⁡〖(1+3β^2)/4〗
ρ_A=tr_B (ρ)=1/4 (■(1&[email protected]&1))=ρ_B → S_2 (ρ_i )=log⁡8
با توجه به رابطه (2-10) داریم
S_2 (ρ)≥S_2 (ρ_i ) → 1+3β^2≤2 → β≤1/√3
در صورتیکه از نامساوی بل مقدار β≤ 1/√2 را بدست آوردیم. با مقایسه این دو مقدار مشاهده
می کنیم که شرط آلفا – آنتروپی قوی تر است.21

2-6 ترانهاده جزئی22
دیدیم که اگر ماتریس چگالی به صورت ترکیب محدب نوشته شود جداپذیر است. اگر مولفه های ماتریس چگالی کل را در نظر بگیریم23
ρ_(mμ,nυ)=∑_i▒〖P_i (ρ_i^A )_mn 〗 (ρ_i^B )_μν(2-12)
که در آن اندیس های لاتین مربوط به زیر سیستم اول و اندیس های یونانی مربوط به زیر سیستم دوم باشد. حال ماتریس σ را با این ویژگی در نظر میگیریم
σ_(mμ,nυ)=ρ_(nμ,mυ)
که در آن اندیس های لاتین (زیر سیستم اول) ترانهاد شده اند و اندیس های یونانی بدون تغییر باقی ماندند به این تبدیل ترانهاده جزئی می گویند. ویژه مقادیر ماتریس ρ تحت تبدیلات یکانی U^A⨂U^B ناوردا باقی می مانند. یعنی
ρ→(U^A⨂U^B ) ρ (U^A⨂U^B )^+
ما برای σ داریم
σ→(〖U^A〗^T⨂U^B ) ρ (〖U^A〗^T⨂U^B )^+
که این هم یک تبدیل یکانی است و ویژه مقادیر σ تحت این تبدیل ناوردا باقی ماند.اکنون با درنظر گرفتن رابطه (2-3)، عملگرσ را می توان به صورت زیر نوشت
σ=∑_i▒〖P_i (ρ_i^A )^T⨂ρ_i^B 〗(2-13)
هر ماتریس چگالی ویژه مقادیر مثبت دارد، واضح است که (ρ_^A )^T نیز ویژه مقادیرش مثبت است، پس می توان این گونه نتیجه گرفت که اگر ویژه مقادیر یک ماتریس چگالی تحت تبدیل ترانهاده جزئی کماکان مثبت باقی ماند، آن حالت جداپذیر است. ماتریس چگالی (2-11) را در نظر میگیریم. برای بدست آوردن ترانهاده جزئی آن را به بلوک های 2×2 تقسیم کرده و هرکدام را جداگانه ترانهاد می کنیم. داریم
ρ≡(■(■((1-β)/4&[email protected]&(1+β)/4)&■(o&[email protected](-β)/2&o)@■(o &(-β)/[email protected] &o)&■((1+β)/4&[email protected]&(1-β)/4)))(2-14)
با محاسبه ویژه مقادیر در می یابیم که این ماتریس سه ویژه مقدار (1+β)/4 و یک ویژه مقدار (1-3β)/4 دارد. اگر شرط مثبت بودن رابرای ویژه مقدار چهارم اعمال کنیم سه ویژه مقدار قبلی تحت پوشش قرار می گیرند.
(1-3β)/4o → β<1/3(2-15)
به ازای β<1/3، ماتریس چگالی جداپذیر می شود که این مقدار قوی تر از شرط های نامساوی بل و آلفا آنتروپی می باشد. آشر-پرز24 نشان داد که معیار ترانهاده جزئی، شرط لازم برای جداپذیری یک سیستم دوتایی می باشد. اما برادران هرودکی اثبات کردند که این معیار تنها برای حالت هایی که فضای هیلبرت H^A⨂H^B ، 2×2 یا 2×3 باشد شرط لازم و کافی است25. 2-7 در هم تنیدگی تشکیل26
درهم تنیدگی تشکیل از نظر تاریخی، اولین معیار درهم تنیدگی است که ارائه شده است.27درهمتنیدگی تشکیل، تعمیم معیار آنتروپیدرهم تنیدگی برای حالتهای مخلوط می باشد.28 و29 و30درهم تنیدگی تشکیل برای یک آنسامبل متشکل از حالتهای خالص عبارت است از: میانگین آنتروپی درهم تنیدگی این حالتهای خالص. اما از آنجا که ماتریس چگالی یک سیستم می تواند به صورتهای مختلفی از مجموعه ای از حالتهای خالص ساخته شود،
درهم تنیدگی تشکیل با کمینه سازی روی همه آنسامبل هایی که را می سازند تعریف
می شود
(2-16)
تعریف درهم تنیدگی تشکیل نیازمند یافتن کمینه مقداررابطه فوق به ازای تمام آنسامبلهای ممکنی که را می سازند، می باشد که واضح است انجام چنین عملی بسیار مشکل است.
به همین دلیل در اینجا برای چند سیستم خاص ، عبارات مشخصی برای بدست آوردن
درهم تنیدگی ساختار ارائه می دهیم. در ادامه معیار مناسب را برای یک زوج کوبیت معرفی
می کنیم.
برای یک زوج کوبیت یک فرمول کلی برای بدست آوردن وجود دارد که این رابطه با کمک کمیتی به نام تلاقی31 تعریف می شود. ابتدا یک حالت خالص از دو کوبیت را در نظر می گیریم، تلاقیاین حالت بصورت تعریف می شود که که در آن
مزدوج مختلط در پایه های استانداردو ماتریس پائولی می باشد. عمل اسپین- معکوس، هنگامیکه بر روی یک حالت خالص جداپذیر اعمال شود ، حالت هرکوبیت را به حالت متعامد آن تبدیل می کند.بنابراین تلاقی چنین حالتی صفر است.در حالیکه یک حالت کاملا در هم تنیده، مثل حالتهای بل، تحت این عمل ناوردا باقی ماند، بنابراین C مقدار 1 را که بیشینه مقدار آن است ، در این حالت خواهد داشت. با این تعاریف درهم تنیدگی تشکیل برای یک حالت خالص از دو کوبیت به صورت زیر تعریف می شود .
(2-17)
که درآن تابع عبارتست از :
(2-18)
وتابع آنتروپی دوتایی است وبه صورت
می باشد.تابع به طور یکنواخت به ازای افزایش می یابد. بنابراین،تلاقی
می تواند خود به عنوان یک معیار درهم تنیدگی در نظر گرفته شود، هرچند این کمیت برخلاف درهم تنیدگی تشکیل، پایه تئوری اطلاعاتی ندارد. تلاقی همچنین می تواند با استفاده از ضرایب بسط تابع حالت بدست آید. اگرحالت مورد نظر را در پایه های استاندارد به صورت زیر بنویسیم :

که در آن. در اینصورت

اکنون یک حالت مخلوط را در نظر می گیریم. برای یک حالت مخلوط از دو کوبیت همان روابط (2-17) و (2-18) برای درهم تنیدگی تشکیلحفظ می شود، با این تفاوت که در این حالت تلاقیاز رابطه زیر بدست می آید
(2-19)
که درآنها جذرویژه مقادیرهستند که به ترتیب نزولی مرتب شده اند. و ماتریس چگالی اسپین- معکوس شده می باشد .
(2-20)
2-8 منفی بودن 32
معیارهای درهم تنیدگی که تاکنون ارائه شدند، هیچکدام به آسانی قابل محاسبه نیستند. تقریبا همگی یک نوع بهینه کردن در تعریف خود دارند که محاسبه آنرا مشکل می کند و حداکثر، در حالتهای خاص رابطه صریحی برای بدست آوردن درجه درهم تنیدگی بدست می دهند. با هدف ارائه یک معیار قابل محاسبه درهم تنیدگی، ویدال و ورنر33، بر پایه معیار پرز (ترانهاده جزئی) مقیاسی ارائه کردند که درآن میزان منفی بودن ویژه مقادیر ماتریس چگالی محاسبه می شود.34 در این معیار دو کمیت محاسبه می شود که هردو بر پایه اندازه رد ترانهاده جزئی حالت مورد نظر می باشند که به راحتی توسط برنامه های ریاضی موجود قابل محاسبه است. این کمیت، منفی بودن نام دارد و عبارتست از
(2-21- الف)
این کمیت در واقع برابر قدرمطلق مجموع تمام ویژه مقادیر منفی می باشد. کمیت دیگر منفی بودن لگاریتمی می باشد که به صورت زیر تعریف می شود:
(2-22)
ثابت شده است که تحت35LOCC افزایش نمی باید ولی تنهاتحتزیر
مجموعه ای از LOCC ناورداست.این دو کمیت برای حالتهای جداپذیر صفر می شوند. همچنین برای حالتهای درهم تنیده مقید (که برای آنها نیزویژه مقادیر ماتریس ترانهاده جزئی چگالی مثبت می باشند) باز هم هر دو کمیت صفر می باشند. کمیت برای حالتهای بل است .
معیار منفی بودن در حالت خاص دو کوبیت به یک رابطه ساده تر منجر می شود. در اینحالت اگرکوچکترینویژه مقدار ترانهاده جزئیباشد در اینصورت
(2-21-ب)
می باشد. برای حالتهای خالص به راحتی می توان نشان داد که منفی بودن با تلاقی مساوی است، ولیدر مورد حالتهای مخلوط فقط می توان گفت که.36 و 37

2-9 اطلاعات فیشر38
اخیرا توجه ویژه ای به اطلاعات فیشر(FI) شده است اطلاعات فیشر اولین بار توسط فیشر به عنوان معیار دقت ذاتی39 در نظریه آماری معرفی شد.40 اهمیت FI در مکانیک کوانتومی و نظریه تابع چگالی از قبل مورد توجه واقع شده است. معادلات مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی را می توان با استفاده از اصل کمینه FI بدست آورد. اخیرا از FI به عنوان معیار اندازه گیری درهم تنیدگی استفاده شده است. معیار اطلاعات فیشرFI برای هر تابع توزیع f(x)توسط رابطه زیر تعریف می شود.
∫▒〖dx f(x) ((∂ ln⁡f(x))/∂x)^2 〗(2-23)
FI مربوط به تابع هوسیمی41Q(x,y,t)=1/π<β|ρ_F (t)| β^*> به صورت زیر داده می شود.

I_F (t)=1/2πℏ ∑_(j=1)^2▒∫_(-∞)^∞▒∫_(-∞)^∞▒〖Q(x,y,t) (σ_j (∂ ln⁡Q(x,y,t))/(∂x_j ))^2 dx dy 〗
(2-24)
که σ_j^2= -〖〗^2 و (x_1,x_2 )=(x,y). ρ_F (t)ماتریس چگالی کاهش یافته میدان با β=x+iy است، پس رابطه بالا مربوط به اطلاعات فیشر میدان می باشد و اطلاعات فیشر اتمی (I_AF)هم به صورت زیر تعریف می شود.42.
I_AF (t)=∑_(j=1)^2▒∫_o^2π▒∫_o^π▒〖Q_A (θ,φ,t) (σ_j (∂ ln⁡〖Q_A (θ,φ,t)〗)/(∂ϑ_j ))^2 sin⁡(θ)dθ dφ 〗
(2-25)
که (ϑ_1,ϑ_2)=(θ,φ) . برای یک اتم دو ترازه تابع Q_A به صورت زیر بدست می آید.
Q_A (θ,φ,t)=1/2πθ,φ |ρ_A (t) | θ,φ(2-26)
که| θ,φ تابع همدوس اتمی است و برای یک اتم دو ترازه به صورت زیر داده می شود.
| θ,φ =cos⁡〖(θ/2)|e +sin⁡〖(θ/2) exp⁡〖(iφ) |g〗 〗 〗(2-27)
که |e (|g) تراز برانگیخته (پایه ) اتمی است، در نتیجه تابع Q_A به صورت زیر می شود.
Q_A (θ,φ,t)=1/4π {1+ρ_Z (t) cos⁡θ+[ρ_X (t) cos⁡φ+ρ_Y (t) sin⁡φ ] sin⁡θ }
(2-28)
واضح است که چون Q_A یک تابع مثبت است I_AF (t) هم نمی تواند منفی باشد. همچنین در رابطه I_AF (t) انتگرالها روی دامنه های محدود تعریف شده اند در صورتیکه برای اطلاعات فیشر میدان، دامنه های x,yنامحدود می باشند. از آنجایی که یافتن یک رابطه بسته برای I_AF (t) کار مشکلی است از روش های عددی برای محاسبه استفاده می کنیم، با این وجود در مقادیر خاص از پارامترهای برهم کنش می توان شکل دقیق آنرا
بدست آورد. برای مثال در حالت خاصی که اتم دو ترازه در t=o در تراز برانگیخته یا پایه باشد داریم ρ_Z (t)≠o و ρ_X (t)=ρ_Y (t)=o و از اینرو رابطه (2-28) به رابطه زیر تبدیل می شود.
Q_A (θ,φ,t=o)=1/4π {1+ρ_Z (o) cos⁡θ }(2-29)
و اطلاعات فیشر اتمی در t=o به صورت زیر بدست می آید.
I_AF (o)={π^2/4 (1-(ρ_z^2 (o))/16)-2}{1+((ρ_z^2 (o)-1))/(2ρ_z^ (o) ) ln⁡〖(1+ρ_z^ (o))/(1-ρ_z^ (o) )〗 }
(2-30)
در فصل های بعدی از این معیار برای محاسبه میزان درهم تنیدگی استفاده خواهیم نمود.

فصل سوم
برهم کنش اتم و میدان

3-1 مقدمه

یکی از مهم ترین کارکردهای علم فیزیک، بررسی اندرکنش نور و ماده است. جذابیت این موضوع بقدری است که در طی سالیان، دانشمندان بسیاری وقت خود را صرف مطالعه و پژوهش در این زمینه نمود

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *