تحول ستارگان- قسمت ۶

بنابر روابط (۲-۲۲) و (۲-۲۴) چگالی کوارک u نیز مشخص خواهد شد.
پس از محاسبه‌ی چگالی کوارک‌ها با توجه به عدد باریونی کوارک‌ها، چگالی باریونی سیستم به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:
(۲-۲۵)
 
 
محاسبه‌ی چگالی انرژی و معادله‌ی ماده کوارکی پلاریزه در حضور میدان مغناطیسی
در اینجا می‌خواهیم به محاسبه‌ی انرژی و معادله‌ی حالت ماده‌ی کوارکی پلاریزه بپردازیم و در این مسیر از روش کیسه‌ای MIT بهره می‌گیریم. قبل از بیان معادلات مربوط به محاسبات، ماده‌ی کوارکی پلاریزه را بررسی می‌کنیم.
هنگامیکه ماده‌ی کوارکی در میدان مغناطیسی قرار می‌گیرند ذرات با اسپین‌های بالا در راستای میدان مغناطیسی جهت‌گیری می‌کنند. در کل کوارک‌ها دارای دو حالت اسپینی و سه حالت رنگی متفاوت هستند، بنابراین تبهگنی آن‌ها برابر ۶ می باشد. اما در اینجا (در حضور میدان مغناطیسی) تبهگنی به عدد ۳ کاهش می‌یابد، زیرا دیگر تبهگنی دو حالت اسپینی را نداریم.
ذرات با اسپین‌های بالا را با و ذرات با اسپین‌های پایین را با نشان می‌دهیم ( چگالی ذره‌ی i باشد). با معرفی پارامتر قطبش ، خواهیم داشت:
(۲-۲۶)
که در این رابطه:
(۲-۲۷)
از روابط بالا می‌توان به رابطه ی زیر رسید:
(۲-۲۸)
پارامتر قطبش در بازه‌ی قرار دارد. عدد موج نیز به صورت زیر درمی‌آید:
(۲-۲۹)
می دانیم در یک سیستم فرمیونی، دمای فرمیونی از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود:
(۲-۳۰)
که دو حالت پیش می‌آید:
اگر دمای سیستم بسیار کوچک‌تر از دمای فرمی باشد:
(۲-۳۱)
در این صورت با تقریب بسیار خوبی می توان محاسبات را به دمای صفر برد.
اگر دمای سیستم در حدود دمای فرمی باشد:
((۲-۳۲
در این صورت محاسبات را در دمای معینی انجام می دهیم.
از طرفی شرط زیر در آن مربوط به سیستم های غیرنسبیتی می باشد:
(۲-۳۳) که در آن عدد موج فرمی است و در یک در یک گاز N فرمیونی از رابطه ی زیر بدست می آید:
(۲-۳۴)
بنابراین در شرایطی که چگالی آنقدر زیاد باشد که در حدود mc باشد به شرایط نسبیتی می‌رسیم.
در اینجا ما کوارک‌ها را نسبیتی در نظر می‌گیریم و محاسباتمان را به کمک روابط نسبیتی در دمای معین انجام می‌دهیم.
 
 
محاسبه انرژی
کوارک‌ها فرمیون هستند، بنابراین از آمار فرمی-دیراک پیروی می‌کنند. پس چگالی ذرات در ماده‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین را برای سیستم های فرمیونی، معرفی می‌کنیم:
(۲-۳۵)
در معادله‌ی بالا ، g عدد تبهگنی، پتانسیل شیمیایی ذرات، T دمای سیستم و ثابت بولتزمن است.
در این معادله، جمع، روی اسپینهای u و d است و میزان احتمال قرارگیری در هر یک از حالت‌ها را بیان می‌کند. البته استفاده از این رابطه مستلزم محاسبه‌ی پتانسیل شیمیایی کوارک‌ها است که ما از روش‌های محاسباتی عددی به محاسبه‌ی آن‌ها می‌پردازیم.
در حد ترمودینامیکی، یعنی جایی که تعداد ذرات و حجم سیستم به بینهایت میل می‌کند و نسبت تعداد ذرات به حجم سیستم مقدار ثابتی است، می‌توان انرژی را پیوسته در نظر گرفت و همچنین برای سیستم شرط مرزی پریودیک را در نظر می‌گیریم:
(۲-۳۶)
که در رابطه ی بالا n چگالی ذرات، k عدد موج می‌باشد.
بنابراین چگالی عددی ذرات در سه بعد به صورت زیر تعریف می شود:
(۲-۳۷)