در اینجا ما اثر وابستگی به چگالی در ثابت کیسه را نیز در کار اخیر وارد می‌کنیم و مطالعاتمان را روی اثر وابستگی به چگالی در ثابت کیسه روی خصوصیات ساختاری ستاره‌ی کوارکی داغ در حضور میدان مغناطیسی قوی متمرکز نموده‌ایم. ستاره‌ی کوارکی را متشکل از ماده‌ی کوارکی متشکل از کوارک های u ، d و s با اسپین‌های بالا و پایین در نظر می‌گیریم و سپس با استفاده از معادلات تولمن-اوپنهایمر-وولکوف به محاسبه‌ی ساختار این ستاره می‌پردازیم.
تا اینجا مقدمه‌ای کوتاه از ستاره‌های کوارکی مطرح کردیم. در فصول بعد به خصوصیات ترمودینامیکی ستاره‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطیسی می‌پردازیم، و نهایتاً ساختار ستاره را در حضور و غیاب میدان مغناطیسی مقایسه می‌کنیم.
فصل۲
محاسبه‌ی خصوصیات ترمودینامیکی ماده‌ی پلاریزه قطبیده با ثابت کیسه وابسته به چگالی
مقدمه
در این فصل روش محاسباتی خود را معرفی می‌کنیم و سپس به کمک این روش محاسباتی، به محاسبه‌ی انرژی و معادله‌ی حالت ماده‌ی کوارکی پلاریزه در دمای معین و در حضور میدان مغناطیسی می‌پردازیم.
 
روش انجام محاسبات
بهترین و مناسب ترین مدلی که تا کنون برای بررسی ماده‌ی کوارکی بکار گرفته شده است، مدل کیسه‌ای MIT است [۲۷، ۲۸، ۲۹، ۳۰]. البته مدل‌های آماری مختلفی تا کنون برای بدست آوردن معادله‌ی حالت مطرح شده‌اند که همگی از QCD نشئت گرفته‌اند. برای مثال مدل NJL [31، ۳۲، ۳۳، ۳۴]، مدل اختلال QCD [13، ۳۵، ۳۶]، که هر یک نقطه ضعفی دارند. با نگاهی گذرا به ضعف هر یک پی می‌بریم.
مدل کیسه‌ای MIT ماده‌ی کوارکی را در کیسه‌ای محدود با فشار کیسه در نظر می‌گیرد و بنابراین به طور آشکارا گاز فرمی آزاد را نقض می‌کند و در محدوده‌ی کوارک‌های سبک سازگاری دارد.
مدل NJL برهمکنش کوارک‌ها را مانند پیون‌ها در نظر می‌گیرد و بنابراین این مدل نمی‌تواند پیوسته در محدوده‌ی کوارک‌ها باشد. این مدل می‌تواند شکستن تقارن کایرال دینامیکی از QCD را توصیف کند. مدل QCD نیز در محدوده‌ی انرژی‌های بالاست و با پیچیدگی‌هایی همراه است. پس در شرایط مورد نظر ما (‌که ماده‌ی کوارکی را متشکل از کوارک‌های سبک در نظر می‌گیریم‌) بهترین مدل، همان مدل کیسه‌ای MIT می‌باشدکه در آن کوارک‌ها به عنوان گاز فرمی آزاد درون کیسه‌ای به فشار در نظر گرفته می‌شوند و انرژی واحد حجم برای ماده‌ی کوارکی ، انرژی کوارک‌های آزاد به اضافه‌ی ثابت کیسه () می‌باشد. ثابت کیسه، اختلاف انرژی بین فضای اختلال یافته و فضای واقعی می‌باشد و از نظر دینامیکی مانند فشاری عمل می‌کند که گاز کوارکی را در چگالی و پتانسیل ثابت نگه می‌دارد.
در این فصل به تفصیل به این روش می‌پردازیم.
 
 
مدل کیسه ای MIT
مدل MIT یک توصیف پدیده شناختی مفید از کوارک‌های محدود شده درون هادرون‌ها را فراهم می‌کند. در این مدل کوارک‌هایی که خارج از کیسه‌ی هادرونی بسیار بزرگ و پر جرم هستند درون هادرون‌ها مانند ذراتی بدون جرم درون کیسه‌ای با ابعاد متناهی رفتار می‌کنند. کوارک‌ها هنگامی به هم نزدیک می‌شوند که انرژی آن‌ها افزایش یافته باشد و طبق این نظریه ( آزادی مجانبی ) اندازه‌ی برهمکنش آن‌ها در این هنگام کاهش می‌یابد. به طور کلی در مورد کوارک‌ها با افزایش فاصله، برهمکنش‌ها افزایش می‌یابد و این می‌تواند دلیلی باشد بر ای آنکه کوارک‌ها هیچگاه به صورت آزاد در طبیعت یافت نمی‌شوند بلکه همیشه در نوکائون‌ها محبوس هستند.
محبوس بودن کوارک‌ها نتیجه‌ی تعادل فشار درون دیواره‌های کیسه با خارج است. فشار درون کیسه را با یک فشار به نام نشان می‌دهیم. این فشار به برهمکنش کوارک-کوارک بستگی دارد و در واقع اختلاف انرژی فضای اختلال یافته و فضای واقعی می‌باشد. دو حالت را برای ثابت کیسه در نظر می‌گیریم:
یک مقدار ثابت
مقداری وابسته به چگالی
در مدل‌های MIT اولیه، را یک مقدار ثابت از جمله و و مقادیری دیگر در نظر می‌گرفتند و محاسباتی نیز با این مقادیر صورت گرفته شده است و نتایجی ارائه شده است. اما اخیراً برای همخوانی با داده های آزمایشگاه سرن یک شکل وابسته به چگالی برای آن در نظر گرفته شده است که ما در اینجا از این شکل وابسته به چگالی استفاده خواهیم کرد.
 
 
ثابت کیسه وابسته به چگالی
در آزمایشگاه CERN بیمهایی از هسته‌ی سرب با انرژی‌های بالا را برخورد داده‌اند و گزارشی از تشکیل پلاسمای کوارک-گلئون داده‌اند، و بر اثر این نتایج یک وابسته به چگالی نیز در نظر می‌گیرند که ما در اینجا از همین نتایج ( وابسته به چگالی) استفاده می‌کنیم.
نتایج سرن به این صورت است که در طول مراحل اولیه، برخورد یون‌های سنگین باعث بوجود آمدن یک حالت چگال و خیلی داغ می‌شود. انرژی بوجود آمده به صورت کوارک‌ها و گلئون‌هایی‌ که به شدت برهمکنش می‌کنند تبدیل به ماده می‌شود که شکل انتظاری از کوارک‌های غیر مقید و گلوئون‌ها را نمایش می‌دهد. سپس پلاسما سرد و رقیق می‌شود، و در نقطه‌ای که انرژی در حدود و دما در حدود می‌باشد، کوارک‌ها و گلئون‌ها به هادرون‌ها تبدیل می‌شوند. این بسط به قدری سریع است که هیچ فاز مخلوطی از کوارک-هادرون انتظار نمی‌رود و هیچ برهمکنش ضعیفی نمی‌تواند نقش ایفا کند.
در مدل MIT اولیه پیش‌بینی می‌شود که اگر فاز هادرونی را به صورت یک گاز بدون برهمکنش شامل نوکلئون‌ها، پادنوکلئون‌ها و پایون‌ها در نظر بگیریم، فاز کوارک‌های آزاد در یک مقدار ثابت از چگالی انرژی، مستقل از شرایط ترمودینامیکی رخ می‌دهد. به همین دلیل رایج است که خط تبدیل بین فاز هادرونی و کوارکی را در یک مقدار ثابت چگالی انرژی رسم می‌کنند که معمولاً بین تا می‌باشد و مقدار گزارش شده توسط سرن نیز می‌باشد [۳۷، ۳۸، ۳۹].
یک رابطه گاوسی وابسته به چگالی برای در نظر می‌گیریم:
(۲-۱)
این رابطه به خوبی نشان می‌دهد که کوارک‌ها در فاصله‌های دورتر به هم بیش‌تر نیرو وارد می‌کنند، در فاصله‌ی نزدیک به هم (یعنی در چگالی‌های بالاتر) همانطور که رابطه نیز نشان می‌دهد انرژی پتانسیل کمتر می‌باشد.
را طوری پارامتربندی می‌کنیم که در چگالی انرژی تبدیل فاز داشته باشیم، معادله‌ی هادرونی را ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن با نسبت پروتون به چگالی کل ۴/۰ با پتانسیل در نظر می‌گیریم و با ماده‌ی کوارکی شامل کوارک‌های u و d قطع می‌دهیم و را بدست می‌آوریم [۴۰].
برای محاسبه‌ی از معادله‌ حالت ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن استفاده می‌کنیم. برای محاسبه‌ی معادله حالت ماده نوکلئونی نامتقارن، از روش بس ذره‌ای که اساس آن بسط خوشه‌ای انرژی می‌باشد استفاده می‌کنیم [۴۱].
ماده نوکلئونی نامتقارن توسط یک سیستم از پروتون و نوترون با چگالی عددی کل و نسبت پروتون به چگالی کل، که در آن و به ترتیب چگالی‌های عددی پروتون‌ها و نوترون‌ها هستند تشکیل شده است. برای این سیستم یک تابع موج آزمایشی به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
(۲-۲)
که در آن دترمینان اسلاتر تابع موج تک ذره‌ای و عملگر همبستگی بین ذرات می‌باشدکه توسط برهمکنش، بین آنها القا می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۲-۳)
عملگر متقارن کننده می‌باشد.
برای ماده‌ی نوکلئونی نامتقارن، انرژی به ازای هر نوکلئون، یک ترم دو ذره‌ای در بسط خوشه‌ای انرژی است که به صورت زیر می‌باشد:
(۲-۴)
انرژی تک ذره ای است:
(۲-۵)
که در آن برچسب ۱ و ۲ به ترتیب برای پروتون و نوترون استفاده می‌شوند و ، ممنتوم ذره‌ی می‌باشد.، انرژی دو ذره‌ای می‌باشد:
(۲-۶)