منبع پایان نامه با موضوع ضرایب متغیر با زمان، دینامیکی

ف خطای ناشی از سیستم‌های آشکارسازی قبلی (پیزوالکتریک و خازنی) به کار گرفته شده‌اند. در مقالاتی ژیروسکوپ ارتعاشی با تشخیص(pickoff) نوری گزارش شده است. [2] گروه دوم، که از چشم‌انداز بسیار خوبی برای رسیدن به میکروجایروهای دقیق (در کلاس ناوبری) برخوردارند، کاملا اپتیکی بوده و در ردیف ژیروسکوپ‌های نوری (ژیروسکوپ‌های لیزر حلقوی و ژیروسکوپ‌های فیبر نوری) قرار می‌گیرند.

1-5-6-1- میکروجایروهای نوری (لیزری)
برای عملکرد بهتر از 0.1o/hr پیشنهاد شده است که یک لیزری حلقوی با ساختار MEMS مانند آنچه در شکل 13-1 دیده می‌شود استفاده گردد. همانطور که در شکل دیده می‌شود، ساختار ژیروسکوپ‌های لیزر حلقوی (Ring Laser Gyro) در اینجا حفظ شده است. آینه‌های MOEMS بر روی زیر لایه (Substrate) سیلیکونی قرار گرفته و یک رزوناتور بسته(حلقوی) را ایجاد می‌نماید. یک دیود لیزری (LD) در داخل حلقه (کاواک) نور لیزر مورد نیاز را تولید می‌کند. دو بخش متمایز دیگر یکی منشور تداخل امواج لیزری مختلف الجهت و متعلقات آن و آینه متحرک جهت تنظیم محیط حلقه (رزوناتور) می‌باشد. نور لیزر ایجاد شده در دیود لیزری در دو جهت مخالف هم (ساعت‌گرد و پادساعت گرد) در رزوناتور منتشر شده و در منشور مخلوط کن، طیف تداخلی تشکیل می‌دهند. سرعت حرکت این طیف تداخلی جهت آشکارسازی زاویه‌ای ورودی ژیروسکوپ مورد استفاده قرار می‌گیرد. از لحاظ عملکردی ژیروسکوپ لیزری عبارتست از یک لیزر حلقوی که در آن دو موج الکترو مغناطیسی در خلاف یکدیگر در یک مسیر بسته منتشر می‌شوند. [2] در اثر گردش ژیروسکوپ به دور محور عمود بر صفحه رزوناتور اختلاف فرکانس (فرکانس ضربان) بین دو موج یاد شده بوجود می‌آید، که متناسب با سرعت زاویه‌ای گردش می‌باشد. این ارتباط بصورت ذیل بیان می شود:

∆f= 4s/Lλ Ω
که∆f تغییر فرکانس تولید اشعه لیزر،Ω سرعت زاویه‌ای جسم حامل ، s مساحت مسیر بسته(کاواک) لیزر، L محیط آن و λ طول موج لیزر است. با اندازه‌گیری این فرکانس می‌توان مقدار سرعت زاویه‌ای جسم حامل ژیروسکوپ را بدست آورد و با انتگرالگیری فرکانس مقدار زاویه چرخش بدست می‌آید. رابطه فوق رابطه ژیروسکوپ لیزری در حالت ایده‌آل می‌باشد و بیانگر اصول کار ژیروسکوپ لیزری است [2]. این ژیروسکوپ با وجود مستعد بودن، دارای چالشهای تکنولوژیکی فراوانی تا مرحله میکروشدن می‌باشد، زیرا با کوچک شدن نویز معادل چرخشی آن افزایش می‌یابد. عمده ترین مزیت های آن بر های دیگرعبارتند از:
دقت بسیار خوب
حساسیت کم به تغییرات درجه حرارت
عدم حساسیت به شوک و ارتعاش بواسطه نداشتن قطعات متحرک.
مصرف انرژی کم

شکل 13-1- نمای شماتیک ژیروسکوپ ارتعاشی نوری میکروماشین شده

شکل 14-1- نمای شماتیک ژیروسکوپ MOEM

فصل دوم

تبیین فرآیند تحریک در ژیروسکوپ های ارتعاشی

1-2- مقدمه
در این قسمت بطور خلاصه انواع ارتعاشات مکانیکی برای درک بهتر فرآیند تحریک مورد بررسی قرار می گیرند. ما ارتعاشات را به رده های مجزا بر حسب نوع ارتباطشان بین فرکانس اعمالی و فرکانس طبیعی ساختار تقسیم بندی می کنیم. در واقع تحلیل دینامیکی اکثر ساختارهای واقعی با استفاده از مدل های چند درجه آزادی صورت می گیرد. فرض می کنیم که شکل کلی معادلات حرکت یک ساختار N درجه آزادی بصورت زیر باشد:

Mx ⃗  ̈ + Cx ⃗  ̇+ Kx ⃗+ F ⃗(x ⃗) = P ⃗1(t) + P ⃗2(t)x ⃗(1-2)

که M ماتریس جرم، C ماتریس میرایی، K ماتریس سختی(صلبیت) و F ⃗(x ⃗)یک بردار غیر خطی است که در ساختار قرار گرفته است. سمت راست معادله نشان دهنده نیروی خارجی وارد شده به ساختار است. در معادله (1-2)، M،C،K وP ⃗2(t) ماتریس های N×N هستند. ازسوی دیگر بردارجابجاییx ⃗(t)، ترم غیر خطی F ⃗(x ⃗) و بردار نیرویP ⃗1(t) ، بردارهای ( N×1) می باشند. نیروی برداری اعمال شده به سیستم P ⃗1(t) و ماتریس P ⃗2(t) توابع زمانی متناوبی هستند که مقادیر آنها بترتیب برابرند با f1cosΩ1t و f2cosΩ2t
در معادله(1-2) اگر مقادیرP ⃗1(t) و P ⃗2(t) برابر صفر باشند، ارتعاشات از نوع آزاد خواهد بود که در این حالت تمامی ترم های معادله شامل بردار جابجائی x ⃗(t) یا مشتقات آن می باشد و ضرایب معادله هم وابسته به زمان نخواهد بود. ارتعاشات آزاد در سیستم واقعی بخاطر اتلاف انرژی بتدریج از بین می رود و سرانجام سیستم به حالت سکون در وضعیت تعادل می رسد.

از سوی دیگر ارتعاشات را وقتی اجباری می نامیم که یک یا چند نیروی متناوب خارجی به سیستم اعمال شوند. در این حالت، معادله حرکت را می توان بوسیله یک تابع پریودیک (متناوب) معینی از زمان بیان نمود.
وقتی فرکانس اعمالی متناوب باشد، نوسانات در نقاط اوج دامنه بصورت رزونانسی در می آیند. همانطور که در شکل1-2 نشان داده شده رزونانس خارجی ایجاد شده را می توان به سه رده تقسیم بندی نمود: رزونانس اولیه، رزونانس ثانویه و رزونانس پارامتری.
در بیشتر سیستم های مکانیکی، توجه ما به رزونانس اولیه به این خاطر است که فرکانس اعمالی نزدیک به یکی از فرکانس های طبیعی سیستم می باشد. وقتی سیستم غیرخطی باشد، سیستم ممکن است در یک فرکانس متفاوتی از رزونانس اولیه نوسان کند که در نتیجه بصورت رزونانس ثانویه در خواهد آمد. رزونانس ثانویه را می توان به سه نوع وابسته به فرکانس طبیعی سیستم تقسیم بندی نمود: رزونانس هارمونیک تحتانی، رزونان
س هارمونیک فوقانی و رزونانس هارمونیک تحتانی- فوقانی[9].
علاوه بررزونانس های اولیه و ثانویه رزونانس دیگری بنام رزونانس پارامتری نیز وجود دارد.این رزونانس بوسیله نیروی خارجی یا ارتعاش متناوب بعضی از پارامترهای سیستم که نسبت به حرکت سیستم حساس می باشند، رخ می دهد. زمانی از نیروی خارجی برای ایجاد رزونانس پارامتری استفاده می شود که جهت راستای نوسان رزونانس های اولیه و ثانویه با هم یکی بوده و در اینصورت جهت نیرو باید بر راستای این نوسان عمود باشد. رزونانس پارامتری را به دو صورت می توان طبقه بندی نمود : رزونانس پارامتری پایه (اولیه) و رزونانس پارامتری اصلی.

مطلب مشابه :  منبع پایان نامه دربارهضریب، پذیری، طراحی، سیستم

شکل 1-2- طبقه بندی رزونانس خارجی

شکل 2-2- طبقه بندی رزونانس داخلی

رزونانس های داخلی را رزونانس پارامتری خودکار نیز می نامند زیرا حفظ رزونانس سیستم بواسطه برخی روابط که میان فرکانس های طبیعی سیستم وجود دارد صورت می گیرد. همانطور که در شکل 2-2 نشان داده شده وقتی رابطه بین فرکانس های طبیعی یک نسبت عددی صحیح می باشد، انتقال انرژی از حالت فرکانس بالا به حالت فرکانس پایین اتفاق می افتد[10].

2-2- تحریک پارامتری
نایوف و ماک در سال 1979 و باتئو در سال 2005 ،[11]،جزئیات فرآیند تحریک را تشریح کردند. یک معادله دیفرانسیل شامل ضرایب متغیر با زمان را بصورت زیر در نظر می گیریم :

x ̈ + P1(t)x ̇ + P2(t)x = f (t) (2-2)

در معادله فوق اگر بجای تحریک خارجی صفر بگذاریم یعنی f (t)= 0 ، ترم های وابسته به زمان در معادله می تواند بر تحریک تأثیر بگذارد. همانطور که در معادله (2-2) نشان داده شده تحریک ثابت همراه با تحریک خارجی می تواند ظاهرگردد. این معادله خطی بوده، ضرایب آن ثابت نبوده و جواب عمومی آن را می توان از جمع جواب خصوصی معادله کامل با جواب عمومی معادله همگن بدست آورد. اگر x1(t)وx2(t) دو جواب مستقل از معادله همگن باشند، جواب عمومی را می توان با ترکیب خطی x(t) = C1 x1(t) +C2 x2(t) بدست آورد.
مدل سیستم بوسیله یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم از نوع معادله (1-2) اما بدون تحریک خارجی و با توابع P1(t) و P2(t) که متناوب با زمان و با دوره تناوب Tمی باشد، مورد بررسی قرار می گیرد.
برسی این نوع از معادلات در سال 1883 توسط فلوکات صورت گرفت و منتشر گردید و از اینرو به نظریه فلوکات معروف شد.

x ̈ + P1(t)x ̇ + P2(t)x = 0 (3-2)

بواسطه تبدیل مطرح شده در زیر:
x = x ̃ exp[ – 1/( 2)∫P1(t)d(t) ]

معادله (3-2) را می توان بصورت زیر نوشت :

x ̃  ̈ + P(t)x ̃ = 0 (4-2)

که
P(t) = P2 – 1/( 4) P12- 1/( 2) P ̇1

معنی آن اینست که رفتار آزاد سیستم میرا را می توان از طریق یک سیستم نامیرا بوسیله ضرب مشتق زمانی نیرو با یک ضریب میرایی مناسب و اصلاح اندکی در فرکانس از طریق تغییر صلبیت بدست آورد. همچنین رابطه فوق را می توان برای یک سیستم خطی با ضرایب ثابت و مشخص نیز بکار برد. برای این تبدیل P1(t) قابل قبول نسبت به زمان قابل تشخیص می باشد. این رابطه را می توان برای سیستم های خطی با مشخصات ثابت نیز بکار برد. معادله (4-2) اولین بار توسط هیل در سال 1886 ارائه گردید به همین خاطر به معادله هیل معروف است. ارتعاشات یک سیستم را می توان توسط معادله هیل توصیف کرد. همانطورکه قبلا هم اشاره کردیم واکنش سیستم هایی که بطور پارامتری تحریک می شوند متفاوت از ارتعاشات آزاد سیستم هستند و زمانی ارتعاشات آزاد اتفاق می افتد که ضرایب در معادله دیفرانسیل همگن حرکت، ثابت باشند و ارتعاشات اجباری نیز زمانی رخ خواهد داد که یک ترم اضافی، نیروی متغیر با زمان به سمت راست معادله حرکت با ضرایب ثابت اضافه شود. بیشتر رزونانس ها در سیستم هایی که بطور پارامتری تحریک می شوند زمانی رخ می دهند که فرکانس تحریک تقریبا دو برابر فرکانس طبیعی باشد.

3-2- معادله ماتئو
معادله ماتئو شکل خاصی از معادله هیل می باشد که بصورت زیر بیان می شود :

P(t) = δ+2εcos(2t) (5-2)

با جایگذاری معادله (5-2) در معادله (4-2) منجر می شود به :

x ̈ + [δ+2εcos(2t)]x = 0 (6-2)

معادله ماتئو بیانگر واکنش تعداد زیادی از سیستم های فیزیکی به تحریک مشخصی که به صورت سینوسی به سیستم اعمال می شود، می باشد. بعنوان یک مثالی از آن می توان به یک پاندول که از یک میله یکنواخت که در یک نقطه از سطح مفصل شده و یک نوسان سینوسی را در جهت عمودی ایجاد می کند، چنانکه در شکل 3-2 نشان داده شده، اشاره نمود.

مطلب مشابه :  ارتکاب جرم، عدل و داد، نهج البلاغه، بخش اقتصاد

شکل 3-2- تحریک عمودی متناوب در نتیجه نوسان آونگی میله یکنواخت[9]

گرچه معادله ماتئو یک معادله دیفرانسیلی خطی می باشد، آنرا بطور تحلیلی در ترم های توابع استاندارد نمی توان حل نمود. یکی از دلایلش اینست که ضرایب آن ثابت نیست و وابسته به زمان است. خوشبختانه ضرایب متناوب با زمان بوده و این اجازه را می دهد که قضیه فلوکات را در مورد آن بکار ببریم. قضیه فلوکات می گوید که در یک معادله دیفرانسیلی خطی، یک مجموعه ای از جواب های پایه (اولیه) وجود دارد که ما می توانیم با استفاده از آنها جواب های دیگر معادله را بدست آوریم. بنابراین قضیه، جواب معادله (6-2) بصورت زیر می شود :

x(t) = exp(γt)ϕ(t)

که γ یک توان مشخصه است و=ϕ(t + π) ϕ(t) می باشد. زمانیکه قسمت حقیقی یکی از γ ها، مثبت باشد، x ناپایدار و با گذشت زمان نامحدود خواهد بود و زمانیکه قسمت های حقیقیγ ها، به
صفر برسند حرکات پایدار از ناپایدار جدا خواهد شد. مکان هندسی مقادیر متناظر با ε و γ ، منحنی های انتقال نامیده می شوند.

4-2- ویژگی های خاص تحریک
تحریک اهمیت های متفاوتی دارد که باعث می شود که یک رزونانس ثابت و مشخص از یک رزونانس معمولی که مستقیما توسط اعمال نیروی خارجی روی سیستم ایجاد می شود، از هم تمایز یابند[11]. رشد دامنه ارتعاشات در طی مدت یک تحریک پارامتری بوسیله تغییرات تناوبی نیرو میسر خواهد شد. رزونانس ثابت و مشخص زمانی میسر خواهد شد که یکی از شرایط زیر برای فرکانس ω یا برای دوره تناوب T برآورده شود.

ω = 2ω0 ∕n, T = nT0∕2 (n = 1,2,3 …)

طبق رابطه فوق ماکزیمم انرژی انتقالی به سیستم ارتعاشی زمانی اتفاق می افتد که فرکانس ثابت و مشخص(ω) دو برابر فرکانس طبیعی سیستم (ω0) باشد. تفاوت بین تحریک ثابت و مشخص با ارتعاش ناشی از تحریک خارجی، ازلحاظ وابستگی رشد انرژی به انرژی ذخیره شده در سیستم می باشد. برای تحریک خارجی افزایش انرژی متناسب با دامنه ارتعاشات است، در صورتیکه در رزونانس ثابت و مشخص افزایش انرژی متناسب با انرژی ذخیره شده در سیستم است. تلفات انرژی ناشی از تحریک اجباری متناسب با انرژی ذخیره شده در سیستم می باشد و با رشد دامنه محدود می شود. رزونانس ثابت و مشخص فقط زمانی صورت خواهد گرفت که اندازه آن از یک مقدار سر حدی بالاتر رود و آن زمانی میسر خواهد شد که افزایش انرژی در طول یک دوره تناوبی بزرگتر از مقدار انرژی تلف شده در طی یک زمان مشخص باشد. مقدار (سرحدی) بحرانی ارتفاع نوسان، وابسته به میرایی سیستم می باشد. به هر حال اگر ارتفاع نوسان از سرحد معین تجاوز کند، انرژی تلف شده بوسیله میرایی در یک سیستم خطی نمی تواند رشد دامنه را محدود کند.

5-2- اصول مربوط به فرآیند تحریک
فرآیند تحریک در ژیروسکوپ ارتعاشی MEMS در این بخش به تفصیل بیان می شود. اکثر ژیروسکوپ های MEMS از نوع ارتعاشی با اندازه حرکت خطی هستند، که آشکار سازی چرخش ورودی در آنها بر اساس بروز شتاب کوریولیس ناشی از وجود حرکت ارتعاشی خطی در دستگاه مختصات چرخان انجام می گیرد. لذا ایجاد ارتعاشات خطی یا تشکیل امواج ایستای دائمی با دامنه و فرکانس ثابت و مشخص جزء لاینکف ژیروسکوپ می باشد. با توجه به اینکه ضریب تبدیل و دیگر مشخصات ژیروسکوپ به دامنه ارتعاشات تحریک شده بستگی دارند، در نتیجه کنترل دامنه و کل فرآیند تحریک از اهمیت خاصی برخوردار است.

6-2- اصول مربوط به تحریک در ژیروسکوپ دیاپازونی
المان حساس نسبت به قاب خارجی با استفاده از محرک های شانه ای و بواسطه یک سیستم محرک الکترواستاتیکی تحریک می شود بطوریکه دارای یک حرکت خطی سینوسی با یک سرعت کنترل شده
می باشد.اگر یک دوران خارجی بصورت جزئی حول محور قائم اعمال شود، نیروی کوریولیس که به جرم تحریک شده اعمال شده بود به قاب خارجی منتقل می شود. دو شاخه دیاپازون دارای فاز مخالفی نسبت به هم بوده و بصورت موازی با جهت حرکت جرم تحریک شده مرتعش می شوند. فشردگی و کشش شاخه های دیاپازون بصورت متناوب توسط نیروی کوریولیس در نتیجه میزان سازی فرکانس تحریک،

دیدگاهتان را بنویسید