منبع پایان نامه با موضوع روش حداقل مربعات، نمونه برداری، مدل رگرسیون، مدل ریاضی

اولین طرح ها برای کنترل ژیروسکوپ MEMS می توان از کار شیکل [25] نام برد.
با استفاده از زمان بی بعد τ=ω_0 tو تقسیم دو طرف معادله (16-2) بر 〖mω〗_0^2 که در آن ω_0 فرکانس مبنا است، فرم بی بعد معادلات به صورت زیر خواهد شد:
q ̈+(C^* q ̇)/(mω_0 )+(K_a q)/(〖mω〗_0^2 )=(u^* (t))/(〖mω〗_0^2 )-(2Ω^* q ̇)/ω_0
(19-2)
پارامترهای معادله (19-2) به صورت زیر تعریف می شوند

شکل 7-2- نمای شماتیک از یک ژیروسکوپ MEMS محور z

q=[█(x/q_0 @y/q_0 )], C^*=[■(c_xx&[email protected]_xy&c_yy )] ,
K_a=[■(K_xx&[email protected]_xy&K_yy )] , u^*= [■([email protected]_y )]

and Ω^*=[■(0&-Ω^*@Ω^*&0)]

(20-2)
q_0 طول مرجع می باشد. حال پارامترهای زیر را در نظر بگیرید
C=C^*/(mω_0 ) , K_b=K_a/(〖mω〗_0^2 )
u=u^*/(〖mω〗_0^2 ) , Ω=Ω^*/ω_0

(21-2)
در نتیجه نمایش معادلات بی بعد شده (16-2) و (17-2) به صورت زیر خواهد بود:
q ̈+Cq ̇+K_b q=u(t)-2Ωq ̇
(22-2)
برای رسیدن به یک مدل فشرده تر، معادله (22-2) را به شکل فضای حالت به صورت زیر نمایش می دهیم:
X ̇(t)=AX(t)+Bu(t)
(23-2)
که در آن
A=[■(0&1&0&[email protected]ω_x^2&-c_xx&〖-ω〗_xy&-(c_xy-2Ω^* )@0&0&0&[email protected]〖-ω〗_xy&-(c_xy+2Ω^* )&-ω_y^2&-c_yy )] ,
B=[■(0&1&■(0&0)@0&0&■(0&1))]^T, X=[■(x&x ̇&y&y ̇ )]^T

(24-2)
و نیز
ω_x=√(k_xx/(mω_0^2 )) , ω_y=√(k_yy/(mω_0^2 )) , ω_xy=k_xy/(mω_0^2 )
(25-2)

فصل سوم

طراحی کنترلر PD مد تحریک یک ژیروسکوپ MEMS برای تخمین سرعت دورانی

1-3- مقدمه
در این فصل یک رویکرد جدید برای طراحی کنترلر و تخمین پارامترهای سیستم ارائه می شود به طوریکه سرعت زاویه ای ورودی قابل اندازه گیری باشد. در کارهایی که تا کنون در این زمینه انجام شده است همواره از قضیه پایداری لیاپانف برای استحصال یک کنترلر که سیستم را پایدار می سازد بهره گرفته می شد و تخمین پارامترها نیز بر اساس همین قضیه به دست می آمد. در این روش ارائه شده از روش کلاسیک زیگلر- نیکولز برای طراحی کنترلر PD بهره گرفته می شود و این خود به ساده بودن مسئله طراحی کمک شایانی می نماید. اثبات خواهد شد در جایی که نویز اندازه گیری و اغتشاشات سیستم در حد قابل قبولی باشد این روش قابل پیاده سازی خواهد بود.

2-3- کنترلر PID
استفاده از کنترلرهای کلاسیک یکی از متداولترین و قدیمیترین روشهای کنترل میباشد که از متداولترین و قابل اطمینانترین آنها کنترل PID میباشد[26]. این کنترل به عنوان پایهای در طراحی انواع کنترلهای پیشرفته بکار میرود. طراحی کنترل PID به روشهای متنوعی صورت میپذیرد که ذیلا به روش بکار گرفته شده در این پژوهش، اشاره شده است.
روش پاسخ فرکانسی زیگلر- نیکولز که توسط آستروم و هاگلاند[26] در سال 1995 بیان شده است که برای یک سیستم بصورت زیر طراحی میشود :
1- بهره تناسبی را افزایش میدهیم تا سیستم نوسان کند؛ این بهره، بهره نهایی میباشد؛Ku
2- زمان بین دو پیک را ثبت میکنیم Tu
3- حال با توجه به جدول 1-3 مقادیر تقریبی برای بهرههای کنترلی را تعیین میکنیم
در این طراحی زمان نمونه برداری با توجه به توصیه آستروم و ویتنمارک[27] متناسب با بهره مشتقی Tdمیباشد که در این راستا میتواند مقداری بین 0.1 تا 0.5 برابر آن را اختیارکند. با توجه به قوانین زیگلر- نیکولز این مقدار زمان نمونه برداریTs مقداری بین 1 تا 5 درصد دوره تناوب نهایی Tu را خواهد داشت.

جدول1-3: تنظیم بهره کنترلرPID
Ti
Td
Kp
Controller

0.5Ku
P
Tu/1.2

0.45Ku
PI
Tu/2
Tu/8
0.6Ku
PID

بهرههای کنترلر هم میتوانند با یک روش قانونمند طراحی شده یا بسته به تجربه فرد خبره در طراحی کنترلرPID بدست آیند[28]که به این روش تجربی اصطلاحا تنظیم دستی گفته میشود که ارتباط بین بهرههای کنترلرPID با مشخصههای سیستم بصورت جدول2-3 بیان شده است،که طراح با توجه به نیازمندیهای مورد نظرخود به طراحی کنترلر میپردازد:

مطلب مشابه :  ظرفیت جذب، شبیه سازی

جدول2-3: قوانین تنظیم دستی کنترلرPID
Rise time
Overshoot
Stability
Action
Faster
Increases
Gets worse
Increase Kp
Slower
Decreases
Improves
Increase KD
Faster
Increases
Get worse
Increase KI

تنظیم کنترلر یک توافق بین عکس العمل سریع و پایداری میباشد. درجدول قوانین یک استثنا وجود خواهد داشت؛ اگر که فرآیند شامل یک انتگرالگیر باشد افزایش بهره تناسبی Kp موجب دستیابی به یک کنترل پایدار میشود. در ادامه روند تنظیم دستی کنترلرPID که توسط اسمیت انجام شده است بیان گردیده است:
1- تمام بهرههای انتگرالگیر و مشتقگیر را صفر میکنیمTd=0 و 1/Ti=0
2- بهره تناسبی Kp را تنظیم میکنیم تا به پاسخ مطلوب دست یابیم، هر مقدار جابجایی از مقدار نهایی را صرف نظر میکنیم.
3- بهره تناسبی را افزایش داده و بهره مشتقی Td را برای خنثی کردن اثر فراجهش تنظیم میکنیم.
4- بهره انتگرالگیر 1/Ti را برای حذف هرگونه انحراف از مقدا رمطلوب تنظیم میکنیم.
5- این فرآیند را تکرار میکنیم تا بهره تناسبی به حداکثر مقدار خود برسد.
پس از اتمام این مراحل کنترلر PID بصورت دستی تنظیم گردیده است که مزیت این روش، تنظیم ساده سیستمهای مهندسی و بصورت همزمان میباشد. از معایب این روش نیز میتوان به زمانگیر بودن این روش در تنظیم و پیدا کردن یک دسته بهره بهینه برای این کنترلر میباشد.

3-3- طراحی کنترلرPD برای کنترل موقعیت دو محوره یک ژیروسکوپ ارتعاشی MEMS
در این قسمت با توجه به مطالب گفته شده در قسمت قبل، یک کنترلر PD برای کنترل موقعیت یک ژیروسکوپ ارتعاشی MEMS ارائه می گردد. هدف از طراحی کنترلر برای ژیروسکوپ MEMS این است که جرم متمرکز یک حرکت پیوسته و هماهنگ را دنبال کند. به این منظور کنترلری به ش
کل زیر انتخاب می شود:
u_x (t)=K_px (x_c-x)+K_dx (x ̇_c-x ̇)
(1-3)
u_y (t)=K_py (y_c-y)+K_dy (y ̇_c-y ̇)
(2-3)
که در روابط بالا K_px و K_py به ترتیب ضرایب تناسبی محورهای x و y و K_dx و K_dy نیز ضرایب مربوط به مشتق این محور ها می باشد. x_c و y_c موقعیت مطلوب تعیین شده برای مرکز جرم جسم می باشد. این موقعیت ها به صورت حرکت نوسانی در بخش های بعدی تعریف خواهند شد.
حال پس از اینکه از کنترل سیستم اطمینان حاصل گردید، نیاز است تا پارامترهای سیستم تخمین زده شوند تا از روی این پارامترها بتوان سرعت دورانی را تخمین زد. در ادامه به یک روش برای تخمین پارامتر ها پرداخته می شود.
4-3- تخمین پارامتر ها به روش حداقل مربعات بازگشتی
روش حداقل مربعات نخستین بار توسط ریاضیدان معروف، فردریش گاوس، ارائه گردید. هدف اصلی او یافتن یک تابع پیوسته از روی جدولی از دادههای ورودی و خروجی بود. دراین روش پارامترهای مجهول یک مدل ریاضی باید طوری تعیین گردند که مجموع مربعات اختلاف بین مقدار واقعی و مقدار محاسبه شده از مدل را حداقل کند. این روش به شکل زیرمدلسازی میگردد[26 و 29]:

(3-3)
y(t)=φ1(t)θ1 + φ2(t)θ2+···+φn(t)θn = φT(t)θ

که درآن بردار = [φ1 φ2 … φn] T(t)φ و بردار θ= [θ1 θ2 … θn]T میباشند. متغیرهای φ، متغیرهای رگرسیون یا رگرسورها نامیده میشوند و معادله (3-3) مدل رگرسیون نامیده میشود. پارامترهای θ باید به گونهای انتخاب گردندکه تابع هزینه زیر را حداقل سازد:
(4-3)
V(θ,t) =1/2 ∑_(i=1)^t▒〖(y(i)-φ^T (i)θ)^2 〗

مطلب مشابه :  دانلود پایان نامه درمورددینامیکی، شبیه سازی

تابع کواریانس را به شکل زیر تعریف می کنیم :
(5-3)
P^(-1) (t) =∑_(i=1)^t▒〖(φ^T φ(i))〗

با تعریف خطا به شکل زیر:
(6-3)
ε(t)=y(t)-y ̂(t)= y(t)- φTθ
خواهیم داشت :
(7-3)
V(θ,t) =1/2 ∑_(i=1)^t▒〖(ε(t) )^2 〗
نشان داده میشود که در صورتی که تابع فوق حداقل گردد، پارامترها در هر لحظه به شکل زیر به دست میآید:
(8-3)
θ ̂=P(t)∑_(i=1)^t▒φ(i)y(i)

میخواهیم از معادله (5-3) استفاده نموده و به یک رابطه بازگشتی دست یابیم. براساس این ایده از رابطه (5-3) استفاده نموده و رابطه زیر را استخراج مینمائیم:

(9-3)
P-1 (t) = P-1 (t-1) + φ(t)φT (t)
با انجام یکسری عملیات ریاضی رابطه بازگشتی زیرحاصل میگردد:

(10-3)
θ ̂(t)=θ ̂(t-1)+K(t)(y(t)- φT(t) θ ̂(t-1))

(11-3)
K(t)=P(t) φ^T (t)=P(t-1)φ(t)(I+φ^T (t)P(t-1)φ(t) )^(-1)
(12-3)
P(t)=(I-K(t)φ(t))P(t-1)
با این عملیات ریاضی یک روش بازگشتی برای روش حداقل مربعات به دست آمده است که آن را روش حداقل مربعات بازگشتی مینامیم.
برای استفاده از این روش برای تخمین آنلاین یک سیستم پیوسته نیاز است تا تغییراتی در تعاریف تابع هزینه و نیز رگرسورها حاصل آید. حال سیستم پیوسته مانند معادله (23-2) را در نظر بگیرید. برای تخمین پارامترهای چنین سیستمی از رابطه زیر بهره می گیریم:

(13-3)
X ̇(t)=θ ̂^T φ
که در رابطه بالا θ ̂=[A ̂ B ̂ ]^T و φ=[X U]^T. دیده می شود که اگر سیستم به درستی همگرا شود، آن گاه مدل تخمین زده شده با مدل واقعی یکسان خواهد بودθ ̂=[A ̂ B ̂ ]^T=[A B]^T. با تعریف تابع هزینه ای به شکل زیر:

(14-3)
V(θ ̂ )=∫_0^t▒〖(X ̇(t)-θ ̂^T φ)^2 dτ〗
با استفاده از مرجع[26 و 30] در می یابیم که در صورتی که تخیمن پارامترها از رابطه:

(15-3)
(dθ ̂)/dt=P(t)φ(t)(X ̇(t)-θ ̂^T (t)φ(t))

که در آن پارامتر P(t) از رابطه

(16-3)
dP/dt=-P(t)φ(t) φ^T (t)P(t)

به دست خواهد آمد، تابع هزینه معادله (14-3) به حداقل مقدار خود خواهد رسید و یا در واقع نُرم خطای تخمینe=X ̇(t)-θ ̂^T (t)φ(t) حداقل می شود.
توجه: با گسسته سازی معادلات (14-3) تا (16-3) به معادلات (7-3)، (10-3) و (12-3) خواهیم رسید.
برای اینکه شرط همگرایی به صفر برای e→0 برقرار باشد، می بایست تحریک پایا صورت پذیرد. توضیح جامعی از این قضیه در مرجع [27] آورده شده است. در اینجا با اندکی تغییر بیان این قضیه بدون اثبات آورده می شود.
5- 3- قضیه تحریک پایا[27](صفحات 177 تا 180)
ماتریس زیر را در نظر بگیرید:
X^T X=[■(x_1^2&x_1 x ̇_1&x_1 x_2&x_1 x ̇[email protected] ̇_1 x_1&x ̇_1^2&〖x ̇_1 x〗_2&x ̇_1 x ̇[email protected]_2 x_1&x_2 x ̇_1&x_2^2&x_2 x ̇[email protected] ̇_2 x_1&x ̇_2 x ̇_1&x ̇_2 x_2&x ̇_2^2 )]

اگر این ماتریس دارای مرتبه کامل باشد آنگاه تحریک پایا خواهیم داشت.
در واقع با بیانی ساده تر می توان گفت در صورتی که سیگنال تحریک کننده پایا نباشد، همه مود های سیستم تحریک نخواهند شد. از تئوری تحریک پایا می توان گفت ، اگر X سیگنال پایا باشد، آنگاه می توان گفت که خطای تخمینlim┬(t→∞)⁡e=0. نشان داده می شود [30] در صورتی که ω_1≠ω_2 باشد، آنگاه تحریک پایا صورت می پذیرد و سرعت زاویه ای نیز همانند سایر پارامترهای نامعین می تواند تعیین گردد. سرعت زاویه ای از رابطه Ω ̂=1/4(A ̂_2,4-A ̂_4,2) محاسبه می شود.
به طور خلاصه اگر سیگنال های x_c=A_1 sin⁡(ω_1 t) و y_c=A_2 sin⁡(ω_2 t) مورد استفاده قرار گیرند، آنگاه e(t) به صورت مجانبی به صفر میل خواهند نمود و بنابراین سرعت زاویه ای می تواند تعیین گردد.

دیدگاهتان را بنویسید